"Contenidos de Geometría Plana"

“La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras, y el otro el número áureo. El primero puede compararse a una medida de oro, y el segundo a una piedra preciosa.”  Johannes Kepler

Te doy la más cordial bienvenida a mi blog educativo mi nombre es Clara Selvina Andrés Marcos estudiante de la Universidad Rafael Landívar de la carrera de Profesorado de Enseñanza Media en Pedagogía y Psicología, en este blog compartiré la recopilación de algunos ejemplos, ejercicios sobre contenidos de "Geometría Plana" que en su momento fueron trabajados en el curso de Didáctica de la matemática. 

 "Geometría Plana"

Origen 

Según (Westreicher, 2,020) La geometría plana tiene sus orígenes en la antigüedad, siendo su principal antecedente la obra Los Elementos del matemático griego Euclides y que data del siglo IV A.C. Este es considerado como uno de los textos más influyentes de la historia y recopila nociones básicas de elementos como rectas y polígonos, e incluso podemos encontrar el famoso "Teorema de Pitágoras".

¿Qué es Geometría Plana?

Es una rama concreta de la geometría que estudia las propiedades de las figuras planas; es decir, aquellas figuras que cuentan con dos dimensiones (ancho y largo) y que pueden ser dibujadas con facilidad.

Los conceptos básicos de la geometría plana según (Westreicher, 2,020) son : 

👀 Área

Una de las propiedades que estudia la geometría plana es, precisamente, la superficie interior de las figuras planas. A esto se le conoce con el nombre de área y su cálculo es de gran utilidad para saber, por ejemplo, de cuánto espacio disponemos dentro de una superficie cerrada.

👀Perímetro 

El perímetro de una figura plana es la suma de las longitudes de sus lados. A diferencia del área, que calcula la superficie interior de la figura, el perímetro hace lo propio con el contorno de la misma; es decir, la parte exterior de la figura plana.

Elementos de la geometría plana según (Westreicher, 2,020) :

👀  Recta: constituido por una serie infinita de puntos que van a una sola dirección, es decir, no presenta curvas.

👀Semirrecta: consiste en una secuencia de puntos, pero no es indefinida, sino que tiene un origen y se prolonga al infinito. 

👀Segmento: constituido por puntos que van en una sola dirección, pero , a diferencia de la semirrecta, está acotado por un punto de origen y un final.

👀Ángulo: Es el arco que se forma a partir del cruce u origen de dos elementos bidimensionales, ya sean rectas, semirrectas o segmentos.

👀Polígono: Es una figura bidimensional formada por una serie finita de segmentos no colineales. Algunos ejemplos son los cuadrados, los rectángulos, los rombos, los triángulos o los octógonos. Los polígonos pueden clasificarse en:

• Regulares: Cuando todos sus lados y ángulos interiores tienen la misma medida.
• Irregulares: Cuando no todos sus lados y ángulos interiores son idénticos.
• 👀Circunferencia:  figura geométrica plana y cerrada que se caracteriza porque todos los puntos que la constituyen se ubican a la misma distancia del centro.

Clasificación de los triángulos

Fotografía No. 1 

Los triángulos tienen una gran importancia en la geometría, pues todo polígono regular puede ser descompuesto o compuesto por triángulos depende cual sea el caso. Es por esto que para calcular correctamente tanto las áreas y perímetros de ciertos polígonos regulares no está demás conocer la clasificación de los triángulos tanto por sus lados (equilátero, isósceles, escaleno) como por sus ángulos (rectángulo, acutángulo, obtusángulo). 

• Fórmulas para calcular perímetros y áreas 
• p: Perímetro 
• a: Área 

• 

  Fotografía No. 2 

Fotografía No. 3 

Las fórmulas de la geometría plana tienen un papel fundamental en el mundo de las matemáticas, ya que gracias a ellas podemos calcular el área y el perímetro de las figuras planas-regulares (círculo, cuadrado, triángulo, rectángulo...) por esta y otras razones se puede visualizar en la fotografía No. 2 y 3 las formulas que se aplicaron en cada ejemplo o ejercicio que se visualizaran más adelante.  

Ejercicios de aplicación de formulas calculando perímetros y áreas (polígonos) 

Fotografía No. 4

En los ejercicios de la imagen se puede visualizar la aplicación o uso de las formulas para encontrar el perímetro y área de los polígonos, lo cual consiste en sustituir las literales por el valor que tiene cada figura. 

            Por ejemplo: en el ejercicio No. 1 (el cuadrado de 7cm), para calcular el perímetro se usó la formula P=4 (l) y lo primero que se hizo fue sustituir la literal "l" por el valor de cada lado en este caso por 7  posteriormente se hizo la multiplicación de P= 4(7) dando como resultado 28cm. 

Para calcular el área se siguió el mismo procedimiento, es decir, copiar la formula a= l² después  se eleva 7 al cuadrado y se hace la potencia, dando como resultado 48cm2 

👀 El resultado del área se eleva al cuadrado siempre independientemente de la figura. 

Ejercicios de aplicación de formulas calculando perímetros y áreas (circunferencia) 

Sacarle el perímetro y área a la siguiente circunferencia, con un diámetro de: 8cm y radio de: 4cm 

Fotografía No. 5

Para calcular el perímetro de la circunferencia se usó la formula P=π x D (el valor de π siempre será de 3.14) entonces se multiplicó 3.14 x 8 (diámetro) dio como resultado: 25. 12 cm

Para calcular el área se usó la formula a= π x r2 y según la formula 4 se eleva al cuadrado,  posteriormente se hizo la potencia dando como resultado 16, de último se multiplicó 3.14x16 y dio como resultado: 50.24cm al cuadrado.

👀 La formula para comprobar π  es: π = P/D es decir, la división del resultado del perímetro con el diámetro de la circunferencia. 

 Teorema de Pitágoras 

El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos. 

👀El teorema de Pitágoras sólo se aplica en los triángulos rectángulos. 

Como consecuencia del teorema de Pitágoras se puede calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuando se conocen sus catetos o calcular un cateto cuando se conoce la hipotenusa y el otro cateto. 

Ejemplo No. 1 : encontrar el lado "a" del siguiente triángulo rectángulo 

Fotografía No. 6

El ejemplo prácticamente indicaba que se tenía que encontrar el lado "a", es decir la hipotenusa y para ello se siguieron estos pasos: 

1. Formula del teorema de Pitágoras: a2 = b2  + c2 

2. Se sustituyeron los datos, es decir las literales por los valores de los catetos "a y b".

3. Se elevaron los valores de los catetos a y b al cuadrado y se hizo la potencia. 

4. Se sumó el resultado. 

5. Después se verificó que "a" esta elevado al cuadrado, entonces se tiene que cambiar por la operación contraria que es la raíz cuadrada 

6. Se hizo la raíz y el resultado es la hipotenusa de dicho triangulo. 

Ejemplo No. 2 : encontrar el lado "b" del siguiente triángulo rectángulo 

Fotografía No. 7

En este ejemplo se pidió encontrar el cateto "b" y para ello se hicieron los siguientes procedimientos:

1. Formula del teorema de Pitágoras: a2 = b2  + c2 

2. Se sustituyeron los datos, es decir las literales, por los valores del cateto "c " y la hipotenusa "a" y se siguió copiando "b"  (todos elevados al cuadrado).

3. Se sacó la potencia de a y c 

4. La formula indica que se suman b y c , pero para obtener "b" se aplicó la operación contraria (resta) por lo que se restó a y c para obtener b. 

5. Al resultado de la resta se le sacó raíz y el resultado es el valor del cateto b . 

Ejemplo No. 3 : encontrar el lado "c" del siguiente triángulo rectángulo 

Fotografía No. 8

En este ejemplo se pidió encontrar el cateto "c" y para ello se hicieron los siguientes procedimientos:

1. Formula del teorema de Pitágoras: a2 = b2  + c2 

2. Se sustituyeron los datos, es decir las literales, por los valores del cateto "b " y la hipotenusa "a" y se siguió copiando "c"  (todos elevados al cuadrado).

3. Se sacó la potencia de a y b

4. La formula indica que se suman b y c , pero para obtener "c" se aplicó la operación contraria (resta) por lo que se restó a y b para obtener c. 

5. Al resultado de la resta se le sacó raíz y el resultado es el valor del cateto c

Ejercicio No. 1 en la que se calculó el área y perímetro de la figura, aplicando el teorema de Pitágoras 

Conversión de triangulo equilátero a triangulo rectángulo  aplicando el teorema de Pitágoras 

Fotografía No. 9

Como se sabe los triangulo equilátero no aplican en el teorema de Pitágoras, pero se pueden convertir en un triangulo rectángulo  partiéndolo a la mitad  así como se logra visualizar en la imagen y lo primero que se hizo para calcular el área y perímetro fue aplicar el teorema de Pitágoras para encontrar la hipotenusa es decir el lado "a", (anteriormente ya se explicaron los procedimientos para ello), para encontrar el área se uso la formula del triangulo rectángulo a=b (h)/2 (baso x altura, divido 2) para encontrar el perímetro su usó la formula P=l+l+l (suma de los lados).  El resultado del área se elevó al cuadrado. 

Ejercicio No. 2 en la que se calculó el área y perímetro de la figura compuesta 

Hallar el área y perímetro de la siguiente figura. Media circunferencia y un cuadrado de 8.2 cm x lado 

Fotografía No. 10

Procedimientos para la realización de este ejercicio: 

👀P1 es el perímetro del cuadrado 

👀P2 es el perímetro de la circunferencia 

👀A1 es el área del cuadrado 

👀 A2 es el área de la circunferencia 

Perímetros: 

1. Para encontrar P1 la formula del cuadrado es: 4(l), pero en el ejercicio se multiplicó 3 (l) ya que el otro lado es de la circunferencia. 

2. Para encontrar P2 se aplicó la formula de la circunferencia P= π x D y el desarrollo fue multiplicar 3.14 x 8.2 (diámetro) para luego dividirlo entre 2 (porque solo está visible la mitad de la circunferencia) de esa manera se obtuvo P2. 

3. De ultimo se sumaron los dos resultados de los perímetros de ambas figuras, es decir, P=P1+P2  

Áreas: 

1. Para encontrar A1 se usó la formula: b x h (base x altura) en la que se multiplicó 8.2 x 8.2. 

2. Para encontrar A2 se usó la formula a= π x r2  la cual indica una potencia ya que el radio se eleva al cuadrado (4.12) dicho resultado se multiplicó por 3.14. 

3. Después de obtener el resultado de la multiplicación de la potencia y el π se dividió entre 2 y el resultado final es el área de la circunferencia. 

4. De ultimo se sumaron los dos resultados de las áreas de ambas figuras, es decir, A=A1+A2  

👀Ambos resultados se elevaron al cuadrado. 

Ejercicio No. 3 en la que se calculó el perímetro y área de una circunferencia 

Fotografía No.11

Para encontrar el perímetro se usó la formula: P= π x D

Para encontrar el área se usó la formula: a= π x r2  

Se sustituyeron los datos, en el caso del área se hizo la potencia, después de los resultados de las multiplicaciones tanto el perímetro y el área se dividieron entre 4 (por la cuarta parte de la circunferencia) y ese resultado se multiplicó por 3 ya que solo esta visible la tercera parte de la circunferencia y de esa manera se obtuvieron ambos resultados, el área se elevó al cuadrado. 

Calculo de perímetros y áreas por Apotema incluyendo algunas funciones trigonométricas 

Segun  (Westreicher, 2,020) "La apotema es la distancia más pequeña que puede notarse entre el centro de la figura y cualquiera de sus lados, siendo representada a través de un segmento" es decir en el caso de un polígono regular (aquel que tiene todos sus lados y ángulos interiores de la misma medida), la apotema tiene como extremos el centro de la figura y el punto medio de cualquiera de sus lados. 

Ejemplo 

Hallar el perímetro y área de un octágono cuyo apotema es de 7.9mts.   

Fotografia No. 12

Para calcular el perímetro y área de un octágono con una apotema de 7.9mts.  

Primero se calculó el grado así como en la imagen y la formula para ese calculo es: Tang=360 ° /2 x n (número de lados del polígono). 

Segundo se calculó el lado usando la formula: 2 x a x tang (y se escribe el grado que se calculó anteriormente). 

Tercero se calculó el perímetro multiplicando el resultado del segundo paso con los lados del polígono.

 Cuarto, se calculó el área multiplicando el perímetro con la apotema y el resultado se dividió entre 2, sin olvidar que resultado final se elevó al cuadrado.